Propriété de symétrie

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit $a,b,c$ trois réels, $a$ non nul et $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$ .

Propriété

La parabole représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à la droite parallèle à l'axe des ordonnées dont une équation est $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ . 

Démonstration

Dire qu'une courbe est symétrique par rapport à une droite $(d)$ parallèle à l'axe des ordonnées signifie que, quel que soit  $\text{M}$ un point de cette courbe, le point symétrique de $\text{M}$ par rapport à  $(d)$ appartient à la courbe.

Soit alors $\text{M}(x_{\text{M}};y_{\text{M}})$ un point de la parabole. Construisons le symétrique de $\text{M}$ par rapport à la droite $(d)$ d'équation $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ . Le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur $(d)$ est le point $\text{I}$ de coordonnées $\text{I}(-{\displaystyle \frac{b}{2a}};y_{\text{M}})$ . En effet,  $\text{I}$ est le point d'intersection de la droite $(d^{\prime })$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $\text{M}$ et de $(d)$ . Comme $(d)$ est parallèle à l'axe des ordonnées,  $(d^{\prime })$ est parallèle à l'axe des abscisses et son équation réduite est $y=y_{\text{M}}$ . Un point ${\text{M}}^{\prime }$ est le symétrique de $\text{M}$ par rapport à $(d)$ si et seulement si $\text{I}$ est le milieu de $[\text{M}{\text{M}}^{\prime }]$ . Les coordonnées de ${\text{M}}^{\prime }$ sont donc $x_{\text{M'}}=2x_{\text{I}}-x_{\text{M}}$ et   $y_{\text{M'}}=2y_{\text{I}}-y_{\text{M}}$ c'est-à-dire    $x_{\text{M'}}=2\times (-{\displaystyle \frac{b}{2a}})-x_{\text{M}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}-x_{\text{M}}$ et  $y_{\text{M'}}=2y_{\text{M}}-y_{\text{M}}=y_{\text{M}}$ . 
Pour conclure, nous devons démontrer que $\text{M'}$ appartient à la parabole représentative de $f$ , c'est-à-dire que ses coordonnées satisfont l'équation de la parabole.

Comme $\text{M}$ appartient à la parabole, ses coordonnées vérifient $y_{\text{M}}=a{x}_{\text{M}}^2+b{x}_{\text{M}}+c$ . On exprime les coordonnées de $\text{M}$ en fonction de celles de $\text{M'}$ grâce aux expressions trouvées précédemment et on a
$y_{\text{M'}}=a{(-{\displaystyle \frac{b}{a}}-x_{\text{M'}})}^2+b(-{\displaystyle \frac{b}{a}}-x_{\text{M'}})+c$
$y_{\text{M'}}=a({\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}+2{\displaystyle \frac{b}{a}}{x}_{\text{M'}}+x_{\text{M'}}^2)-{\displaystyle \frac{b^2}{a}}-b{x}_{\text{M'}}+c$
$y_{\text{M'}}={\displaystyle \frac{b^2}{a}}+2b{x}_{\text{M'}}+a{x}_{\text{M'}}^2-{\displaystyle \frac{b^2}{a}}-b{x}_{\text{M'}}+c$
$y_{\text{M'}}=a{x}_{\text{M'}}^2+b{x}_{\text{M'}}+c$
Les coordonnées de $\text{M'}$ satisfont l'équation de la parabole. On en déduit que $\text{M'}$ appartient à la parabole représentative de la fonction $f$ .

On vient de démontrer que, quel que soit $\text{M}$ un point de la parabole, son symétrique $\text{M'}$ par rapport à la droite $(d)$ , dont une équation est $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ , appartient à la parabole. On en conclut que la parabole représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $(d)$ .

Exemple

Soit $y=x^2-3x+5$ l'équation réduite d'une parabole. Une équation de son axe de symétrie est $x=-{\displaystyle \frac{-3}{2\times 1}}$ c'est-à-dire $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ .